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爷爷冷知识——奥尔良数学家佩亚泰的奇妙发现 奥尔良数学家佩亚泰是一位被广泛赞誉的数学家，在20世纪初期的法国，他以他的数学才华和深厚的数学知识而受到了广泛的推崇。尽管他的贡献在当时并没有得到足够的认可，但他的贡献却一直受到了数学界的赞誉。 佩亚泰的贡献在于他的发现，他发现在有限整数中，某些特定的数会在计算阶乘时出现多少次。 在数学中，阶乘是指给定整数n，将整数1到n之间的所有整数相乘。也就是说，n的阶乘为n! = 1×2×3×…×n。当然，阶乘可以延伸到非正整数。但是，佩亚泰的贡献是关于整数阶乘的研究。 佩亚泰发现，在n的阶乘中，特定的数a出现的次数可以通过以下公式来计算： $$S_a(n!) = \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{a^i}\right\rfloor$$ 其中$\left\lfloor\frac{n}{a^i}\right\rfloor$表示n除以$a^i$的商的整数部分。 佩亚泰发现，如果我们将这个公式中的数a设置为质数p，并且将阶乘中的所有质因数都重新排列，则该质数在新的阶乘中出现的次数将可以计算出来。 例如，在10的阶乘中，质数2出现了8次。使用佩亚泰的公式，我们可以计算出这个结果： $$S_2(10!) = \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{10}{2^i}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor = 5 + 2 + 1 = 8$$ 同样的，我们可以计算出5在10的阶乘中出现的次数： $$S_5(10!) = \sum_{i=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{10}{5^i}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{10}{5}\right\rfloor = 2$$ 在这种方式下，我们可以对于任意给定的数n和质数p，计算出p在n！中出现的次数。 佩亚泰的发现为数学领域提供了一个很重要的工具，可以用来计算阶乘中特定质数的数量。这个工具在不同的数学领域有着广泛的应用，特别是在数学分析和组合数学领域。 佩亚泰的工作直到20世纪70年代才得到了广泛的认可，这是一个典型的例子，表明一项伟大的数学发现可能需要相当长的时间才能受到认可和尊重。 总之，佩亚泰的发现为数学领域提供了一个很重要的工具，通过计算阶乘中特定质数的数量，我们可以更好地理解和应用数学。在这个意义上，佩亚泰的贡献应该被认为是数学史上的一个巨大突破。