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辅冷知识：从闻名世界的“欧拉公式”说起 欧拉公式是数学中的一个重要定理，以欧拉－马斯刻罗尼名字命名。这个公式涉及自然常数e、虚数单位i、圆周率π和自然对数的底数常数。该公式被誉为“数学之美的代表作”。 欧拉公式表述如下： $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ 其中，x是实数，i是虚数单位，e是自然常数。 对于非数学专业的人来说，这个公式可能有些晦涩难懂。不过，如果我们稍加解释，就可以让大家也能从中领略数学之美。
首先，让我们来看看e的幂次方形式： $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$$ 这个公式说的是，当x等于一个实数时，自然常数e的x次方可以拆分成一个无限级数的形式，其中每一项都是x的一个幂次方除以该幂次方的阶乘。 接下来，我们把x改成ix，然后带入欧拉公式： $$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+...$$ $$=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+...$$ 把上面这个式子细心观察一下，不难发现，其中实部是一个无穷级数，而虚部也是一个无穷级数。这两个级数都由x的幂次方和阶乘组成。 现在来管一下虚部，因为i的平方等于-1，所以我们可以把虚部的每一项中的i提取出来。我们发现，这样获得的结果，恰好就是一个我们已经很熟悉的级数，它就是正弦级数。 具体而言，我们获得了这个式子： $$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}+...$$ $$=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...\right)+i\left(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\right)$$ 你看，右边的虚部就是正弦级数的形式，其中x的系数是1，第二项系数是$-\frac{1}{3!}$，第三项系数是$\frac{1}{5!}$，等等。而左边的实部，就是余弦级数的形式，其中x的系数是1，第二项系数是$-\frac{1}{2!}$，第三项系数是$\frac{1}{4!}$，等等。 于是，我们就从自然常数e的幂次方形式推导出了正弦和余弦级数。更妙的是，我们可以把它们组合起来，得到欧拉公式的表达式： $$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$ 这个公式的美妙在于，它把三个看似无关的数学常量——圆周率π、自然常数e和虚数单位i——联接在了一起。这些常数都是数学中的重要概念，它们在许多领域中都扮演着至关重要的角色——从微积分到物理学、从工程学到计算机科学。 一个最初写成自然常数的公式，居然能够化身成为三角函数的统一形式——这样的华美转变，显示出了数学的深邃与美妙。而欧拉公式之美，也正是源自于这种数学的深度和美感。 从这个简单的数学公式中，我们发现了学习数学的乐趣和魅力。同时，欧拉公式也提醒了我们——数学是不光是一个具有实用价值的工具，更是一种充满美感的思维方式。