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无穷迭代尺》：探寻欧几里德的延伸思想 欧几里德公认为几何学之父，他在《几何原本》中提出了许多著名的几何定理和公理。在其中之一的公理集合中，便包含了实际运用的分类法、逻辑推理和无限递归等思想。这些思想不仅引导了几何学的一代又一代学者前行，也丰富了我们的思维方式。本文将会结合一部冷知识视频，探讨其中的一种延伸思想——无穷迭代尺。 无穷迭代尺，是一种数学工具，也是一种人类类比思维的体现。视频中的建筑师放置尺子时，不断在上一根尺子的基础上叠加新的尺子，如此运作，最终使得尺子堆成了一个长长的，对称的形状。然而这不仅仅是一张美妙的图案，而是一个具有数学意义的模型，它与数学中的一些基本概念密切相关。
首先，无穷迭代尺可以看作一个无限等比数列。我们可以将第一根尺子的长度设为1，第二根尺子的长度设为r，则第三根尺子的长度便为r²，第四根尺子的长度便成为r³……以此类推，尺子长度的变化实际上可以由首项和公比表示出来，即1, r, r², r³ …… 这个数列在数学上被称为等比数列。当公比r>1时，数列呈现出发散的趋势；当r<1时，数列呈现出收敛的趋势。而无穷迭代尺中的正方形图案，实际上就是这个等比数列所构成的集合，而其美妙的对称性，正是由于这一数列的收敛和发散的特性带来的结果。
此外，无穷迭代尺也涉及到了数学中的“基于自相似”和“分形”概念。自相似是指某个物体的不同部位具有相同的形式结构；而分形是指形状具有不连续，自相似的性质，并且能够由简单的规律重复调用产生。在无穷迭代尺中，每一根尺子的形状都与其上一根尺子的形状相似，但尺子的尺寸却逐渐递减，这对应了数学中分形的概念。
最后，无穷迭代尺体现出了拓扑学中的一个基本定理，即“巴拿赫-塔斯基定理”，个人认为可以称之为“奇迹般的分割”。“巴拿赫-塔斯基定理”是这样表述的：如果一份三维物体可以分解成有限个部分，那么这些部分可以重新组合成一个原模样的两份。无穷迭代尺中，每一根尺子与上一根尺子是相似的，当其分割为更小的部分时，这种相似的性质仍然能在每一个更小的部分中得到保持。 这样，在应用“巴拿赫-塔斯基定理”的思路下，我们可以将这个无穷迭代尺中的一小部分叠加到一份相同或类似的无穷迭代尺中，依次重复，
最后我们就能得到完全一样的图案，这引导我们进一步发现了这种无穷迭代尺的几何相似性和有趣的拓扑学特性。 总的来说，“无穷迭代尺”是一种更加深入学习欧几里得学派的的有趣方式，可以用以探究等比数列、分形等数学概念，同时也揭示了拓扑学中的奇妙性质。其更重要的意义，在于它向我们展示了数学和几何学的魅力：通过类比、比喻、抽象等思维方式，我们可以更好地理解抽象数学概念，在其中发现潜在的关联、相似性和差异性，进而去举一反三，进一步发现更深刻的数学思想。