罗
素悖论：不可能所有的集合都是集合的子集 在集合论中，罗素悖论是一种旨在证明集合论的基本原理之一——所有集合都是其他集合的元素——是错误的悖论。该悖论由英国哲学家伯特兰·罗素于20世纪初提出。 该悖论的基本内容是这样的：设所有不包含自身的集合组成的集合为X，即X={A|A不是A的元素}，那么问题来了，X究竟包不包含X呢？如果X包含自身，那么它不是不包含自身的集合，与定义不符；但如果X不包含自身，那么它符合定义，却不能算在X里面了。所以X既不能包含自身，也不能不包含自身，导致出现无法回答的问题，形成了悖论。 该悖论引发了长期的哲学和数学讨论，绕了一个大圈之后，人们得出了出人意料的结论：我们并不需要无限个集合，只需要一些仅仅可以描述的集合，我们可以构建一个数论体系，而在这个体系里，我们可以做出完全一样的事情，同时避免罗素悖论。这就是所谓的ZFC公理集合论体系。 ZFC公理集合论体系是现代数学的基础之一，它由罗素悖论引发并修补了集合论，相较于高斯的四则运算与欧氏的平面几何体系而言，它是数学史上与伟大的成就。 除了ZFC公理集合论体系，还有哥德尔定理、康托尔集合与无理数等等数学的冷知识，它们看上去不可思议，却犹如魔法一般，成就着我们众多的科学与自然的发现，深刻地影响着我们的生活和思考方式。